Franck Piccard, al que su padre le puso el nombre en homenaje a Frank Sinatra, es miembro de una destacada familia de esquiadores, entre los que se encuentran sus hermanos Ted e Ian y su hermana Leila, todos ellos olímpicos. Fue una de las figuras principales de la icónica generación francesa de los Top Guns, junto con Luc Alphand, Jean-Luc Crétier y Denis Rey.
En 1988 se convirtió en el primer campeón olímpico francés, desde que en 1968 lo hiciera el mítico Jean Claude Killy. Fue al ganar el supergigante en los Juegos de Calgary, donde también obtuvo la medalla de bronce en descenso tras los suizos Pirmin Zurbriggen y Peter Müller.
En 1992, en los Juegos Olímpicos de Albertville, después de varias temporadas decepcionantes y a pesar de salir un dorsal alto, logró dar la campanada con un fantástico descenso en la famosa pista Bellevarde de Val d’Isère, consiguiendo la medalla de plata a solo cinco centésimas del oro logrado por el austríaco Patrick Ortlieb.
A lo largo de su carrera participó en tres Juegos Olímpicos (1988, 1992 y 1994) y disputó cinco ediciones de los Campeonatos del Mundo; obtuvo su mejor resultado en Saalbach 1991, donde se colgó la medalla de bronce en supergigante.
Piccard se dio a conocer al proclamarse campeón mundial júnior en 1982, en la estación francesa de Auron. Sus primeros puntos en la Copa del Mundo los consiguió el 10 de diciembre de 1983, cuando quedó cuarto en el super-G de Val d’Isère (Francia).
En sus inicios fue un velocista puro, pero con los años se recicló a las pruebas de slalom gigante. Sumó cuatro victorias en pruebas de la Copa del Mundo. La primera, el 13 de marzo de 1988, al ganar el super-G en Beaver Creek (USA). En 1990 subió a lo más alto del podio en dos ocasiones: en el descenso de Schladming (Austria) y en el supergigante de Valloire (Francia).
Su último triunfo fue en el slalom gigante de Sölden (Austria), la prueba inaugural de la Copa del Mundo, en la temporada 1993. Su mejor temporada en el circuito fue la 1987-1988, cuando acabo séptimo en la general. Por disciplinas, terminó tercero cuatro veces: en super-G en 1987-1988 y 1988-1989, en slalom gigante en 1993-1994 y en la combinada en 1987-1988. En total, logró 11 podios en carreras de la Copa del Mundo. Piccard ganó además dos títulos nacionales franceses: el de super-G en 1987 y el de slalom gigante en 1993.
La última carrera de la Copa del Mundo fue el 10 de febrero de 1996, en el slalom gigante en Hinterstoder (Austria), donde se clasificó en posición 27, justo por debajo y a tan solo 0,38 segundos de un jovencísimo Hermann Maier, que debutaba en el circuito mundial.
Después de retirarse del esquí alpino, Piccard compitió en esquí de fondo de larga distancia a escala nacional, entre 2006-2009. Entre algunos de los reconocimientos más destacados que recibió, en 1988, la Academia Francesa de Deportes le otorgó el Premio de la Villa de París.